Question

已知一條曲線C在y軸右側，C上每一點到點F（1，0）的距離減去它到y軸距離的差都是1．
（1）求曲線C的方程；
（2）（文科做）已知點P是曲線C上一個動點，點Q是直線x+2y+5=0上一個動點，求|PQ|的最小值．
（理科做）是否存在正數m，對于過點M（m，0）且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有

FA

•

FB

＜0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設P（x，y）是曲線C上任意一點，由題意可知：C上每一點到點F（1，0）的距離與它到直線x=-1的距離相等，可知點P的軌跡是拋物線（去掉頂點）．
（2））（文科）設點P（x，y），滿足y²=4x，則點P到直線x+2y+5=0的距離|PQ|=

|x+2y+5|

5

=

| y2 4 +2y+5|

5

=

(y+4)2+4

4 5

，利用二次函數的單調性即可得出；
（理科）設過點M（m，0）（m＞0）的直線l與曲線C的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．設l的方程為x=ty+m，與拋物線方程聯立可得關于y的一元二次方程，可知△＞0，即根與系數的關系，由

FA

•

FB

＜0利用數量積運算并結合根與系數的關系可得m²-6m+1＜4t²．進而求得m的取值范圍．

解答：解：（1）設P（x，y）是曲線C上任意一點，由題意可知：C上每一點到點F（1，0）的距離與它到直線x=-1的距離相等，點P的軌跡是拋物線（去掉頂點）．
可得曲線C的方程為y²=4x（x＞0）．
（2）（文科）設點P（x，y），滿足y²=4x，
則點P到直線x+2y+5=0的距離|PQ|=

|x+2y+5|

5

=

| y2 4 +2y+5|

5

=

(y+4)2+4

4 5

≥

4

4 5

=

5

5

，
當y=-4時最小，即|PQ|最小值為

5

5

．
（理科）設過點M（m，0）（m＞0）的直線l與曲線C的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
設l的方程為x=ty+m，
由

x=ty+m y2=4x

得y²-4ty-4m=0，△=16（t²+m）＞0，且

y1+y2=4t y1y2=-4m

①
又

FA

=(x1-1，y1)，

FB

=(x2-1，y2)，
∵

FA

•

FB

＜0，
∴（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂＜0②
又x=

y2

4

，②式可化為

y 2 1

4

•

y 2 2

4

-(

y 2 1

4

+

y 2 2

4

)+1+y1y2＜0
即

(y1y2)2

16

-

1

4

[(y1+y2)2-2y1y2]+1+y1y2＜0
將①代入上式，得m²-6m+1＜4t²．
∵對任意實數t上式成立，
∴m²-6m+1＜（4t²）_min，而（4t²）_min=0．
即m²-6m+1＜0
∴3-2

2

＜m＜3+2

2

．
∴存在正數m，對于過點M（m，0）且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有

FA

•

FB

＜0，且m的取值范圍(3-2

2

，3+2

2

)．

點評：本題綜合考查了拋物線的定義、直線與拋物線相交問題轉化為方程聯立得到△＞0及根與系數的關系、二次函數的單調性、恒成立問題的等價轉化等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．