Question

已知函數f(x)＝ax²－2x＋1，g(x)＝ln(x＋1)．

(1)求函數y＝g(x)－x在[0,1]上的最小值；

(2)當a≥時，函數t(x)＝f(x)＋g(x)的圖像記為曲線C，曲線C在點(0,1)處的切線為l，是否存在a使l與曲線C有且僅有一個公共點？若存在，求出所有a的值；否則，說明理由．

(3)當x≥0時，g(x)≥－f(x)＋恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解析　(1)y′＝－1，因為0≤x≤1，所以y′≤0.

所以y＝g(x)－x在[0,1]上單調遞減．

當x＝1時，y取最小值為ln2－1.

故y＝g(x)－x在[0,1]的最小值為ln2－1.

(2)函數t(x)的定義域為(－1，＋∞)，t′(x)＝2ax－2＋，t′(0)＝－1.

所以在切點P(0,1)處的切線l的斜率為－1.

因此切線方程為y＝－x＋1.

因此切線l與曲線C有唯一的公共點，所以，方程ax²－x＋ln(x＋1)＝0有且只有一個實數解．顯然，x＝0是方程的一個解．

令φ(x)＝ax²－x＋ln(x＋1)，則φ′(x)＝2ax－1＋＝.

當a＝時，φ′(x)＝≥0，于是，φ(x)在(－1，＋∞)上單調遞增，即x＝0是方程唯一的實數解．

當a>時，由φ′(x)＝0，得x₁＝0，x₂＝－1∈(－1,0)．

在區間(－1，x₂)上，φ′(x)>0，在區間(x_2,0)上，φ′(x)<0.

所以，函數φ(x)在x₂處有極大值φ(x₂)，且φ(x₂)>φ(0)＝0.

而當x→－1時，φ(x)→－∞，因此，φ(x)＝0在(－1，x₂)內也有一個解，矛盾．

綜上，得a＝.

(3)令h(x)＝g(x)－＝ln(x＋1)＋ax²－x，

h′(x)＝＋ax－1＝＝(x>－1)．

若a＝0，當x∈[0，＋∞)時，h′(x)≤0，則h(x)在[0，＋∞)上單調遞減，故h(x)≤h(0)＝0，不合題意；

若a≥1，當x∈[0，＋∞)時，h′(x)≥0，則h(x)在[0，＋∞)上單調遞增，故h(x)≥h(0)＝0，符合題意；

若0<a<1，當x∈時，h′(x)≤0，則h(x)在單調遞減，故h()<h(0)＝0，不合題意；

若a<0，當x∈[0，＋∞)時，h′(x)≤0，則h(x)在[0，＋∞)單調遞減，故h(1)<h(0)＝0，不合題意．

綜上：a的取值范圍是a≥1.