Question

某地方政府準備在一塊面積足夠大的荒地上建一如圖所示的一個矩形綜合性休閑廣場，其總面積為3000平方米，其中場地四周(陰影部分)為通道，通道寬度均為2米，中間的三個矩形區域將鋪設塑膠地面作為運動場地(其中兩個小場地形狀相同)，塑膠運動場地占地面積為S平方米．
（1）分別寫出用x表示y和S的函數關系式（寫出函數定義域）；
（2）怎樣設計能使S取得最大值，最大值為多少？

Answer 1

（1）y＝(6＜x＜500)．S=3030－，6＜x＜500.
（2）x＝50 m，y＝60 m時，最大面積是2430 m².

解析試題分析：（1）解實際問題應用題，關鍵正確理解題意，列出函數關系式，注意交代定義域. 由已知xy＝3000,2a＋6＝y∴x＞6，y＞6，故y＝，由y＞6，解得x＜500，∴y＝(6＜x＜500)．S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a，根據2a＋6＝y，得a＝－3＝－3，∴S＝(2x－10)＝3030－，6＜x＜500.（2）由基本不等式求最值，注意等于號取值情況.S＝3030－≤3030－2＝3030－2×300＝2430，當且僅當6x＝，即x＝50時等號成立，此時y＝60.
解：（1）由已知xy＝3000,2a＋6＝y∴x＞6，y＞6，故y＝，
由y＞6，解得x＜500，∴y＝(6＜x＜500)．
S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a，
根據2a＋6＝y，得a＝－3＝－3，
∴S＝(2x－10)＝3030－，6＜x＜500.
（2）S＝3030－≤3030－2＝3030－2×300＝2430，
當且僅當6x＝，即x＝50時等號成立，此時y＝60.
所以，矩形場地x＝50 m，y＝60 m時，運動場的面積最大，最大面積是2430 m².
考點：函數應用題，基本不等式求最值