Question

已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=2，a₂=6
（1）對于任意的正自然數n，設點Pn(an，

Sn

n

-3)在直線E上，求直線E的方程；
（2）設數列{b_n}，其中a_nb_n=2，問從{b_n}中是否能選出無窮項，按原來的順序排成等比數列{c_n}，使{c_n}的各項和等于

1

2

？若能，請說明理由并求出數列{c_n}的第一項和公比，若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）a_n=4n-2，S_n=2n²，n∈N^*，所以P_n（4n-2，2n-3），由此能求出曲線E的方程．
（2）bn=

2

an

，假設存在一個等比數列{c_n}：設其首項為c1=

2

ar

=

2

4r-2

，第二項為c2=

2

as

=

2

4s-2

，則公比為q=

2 4s-2

2 4r-2

=

4r-2

4s-2

=

2r-1

2s-1

，由此可知存在唯一的等比數列{c_n}，首項為c1=

2

4r-2

=

1

3

，公比為q=

4r-2

4s-2

=

1

3

．

解答：解：（1）a_n=4n-2，S_n=2n²，n∈N^*（2分）
所以P_n（4n-2，2n-3）
設P_n（x，y），則

x=4n-2 y=2n-3

，
得x-2y-4=0即為曲線E的方程 （4分）
（2）bn=

2

an

，假設存在一個等比數列{c_n}：設其首項為c1=

2

ar

=

2

4r-2

，（r∈N*）
第二項為c2=

2

as

=

2

4s-2

，（s∈N*，r＜s），（5分）
則公比為q=

2 4s-2

2 4r-2

=

4r-2

4s-2

=

2r-1

2s-1

，0＜q＜1，（6分）
所以得

2 4r-2

1- 2r-1 2s-1

=

2s-1

(2r-1)(2s-2r)

=

1

2

（7分）
所以s=

2r2-r-1

2r-3

=

(2r+1)(r-1)

2r-3

=(1+

4

2r-3

)(r-1)）
因為r、s∈N*，
所以存在唯一的r=2，s=5（9分）
所以存在唯一的等比數列{c_n}，
首項為c1=

2

4r-2

=

1

3

，
公比為q=

4r-2

4s-2

=

1

3

（11分）

點評：本題考查不等式和數列的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．