Question

設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=2x²+（x-a）|x-a|
（1）若f（0）≥1，求a的取值范圍；
（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）不等式即-a|-a|≥1，故有 a＜0，且a²≥1，解不等式組求a的取值范圍．
（2）分類討論，去掉絕對值，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最小值問題，借助二次函數(shù)的對稱軸及單調(diào)性．

解答：解：（1）若f（0）≥1，則：-a|-a|≥1?

a＜0 a2≥1

?a≤-1．
（2）當x≥a時，f（x）=3x²-2ax+a²，∴f(x)min=

f(a)，a≥0 f( a 3 )，a＜0

=

2a2，a≥0 2 3 a2，a＜0

，如圖所示：

當x≤a時，f（x）=x²+2ax-a²，∴f(x)min=

f(-a)，a≥0 f(a)，a＜0

=

-2a2，a≥0 2a2，a＜0

．
 
綜上所述：f(x)min=

-2a2，a≥0 2 3 a2  a＜0

．

點評：本題考查取絕對值的方法，二次函數(shù)在區(qū)間上的最小值的求法，體現(xiàn)了分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．