Question

（07年湖北卷理）（12分）

如圖，在三棱錐中，底面，，是的中點，且，．

（I）求證：平面；

（II）當角變化時，求直線與平面所成的角的取值范圍．

Answer 1

本小題主要考查線面關系、直線與平面所成角的有關知識，考查空間想象能力和推理運算能力以及應用向量知識解決數學問題的能力．

解析：解法1：（Ⅰ），是等腰三角形，又是的中點，

，又底面．．于是平面．

又平面，平面平面．

（Ⅱ） 過點在平面內作于，則由（Ⅰ）知平面．

連接，于是就是直線與平面所成的角．

在中，；

設，在中，，．

，，．又，．

即直線與平面所成角的取值范圍為．

解法2：（Ⅰ）以所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，

于是，，，．

從而，即．

同理，

即．又，平面．

又平面．

平面平面．

（Ⅱ）設直線與平面所成的角為，平面的一個法向量為，

則由．

得

可取，又，

于是，

，，．

又，．

即直線與平面所成角的取值范圍為．

解法3：（Ⅰ）以點為原點，以所在的直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，

，于是，，．

從而，即．

同理，即．

又，平面．

又平面，

平面平面．

（Ⅱ）設直線與平面所成的角為，平面的一個法向量為，

則由，得

可取，又，

于是，

，，．

又，，

即直線與平面所成角的取值范圍為．

解法4：以所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則．

設．

（Ⅰ），

，

即．

，

即．

又，平面．

又平面，

平面平面．

（Ⅱ）設直線與平面所成的角為，

設是平面的一個非零法向量，

則取，得．

可取，又，

于是，

，關于遞增．

，．

即直線與平面所成角的取值范圍為．