Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，點D在棱PB上．
（1）求證：BC⊥平面PAC；
（2）當D為PB中點時，求AD與平面PAC所成的角的大小．

Answer 1

分析：（1）根據條件中的線面垂直，寫出線線垂直，根據兩條直線所成的角是一個直角，得到線與線垂直，這樣存在一條直線與一個平面上的兩條相交直線垂直，得到線與面垂直．
（2）要求線與面所成的角，首先要做出角，再證明角就是線面角，最后再放到一個可解的三角形中，求出角，本題符合這個思路．

解答：解：（1）∵PA⊥底面ABC∴PA⊥BC，
又∠BCA=90°∴AC⊥BC，
∴BC⊥平面APC
（2）∵D為PB中點，DE∥BC∴DE=

1

2

BC
又BC⊥平面PAC∴DE⊥平面PAC
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角
∵PA⊥底面ABC∴PA⊥AB又PA=AB
∴△ABC為等腰直角三角形
∴AD=

1

2

AB，又∠ABC=60°∴BC=

1

2

AB
∴在Rt△ABC中，sin∠DAE=

DE

AD

=

2

4

∴AD與平面PAC所成的角的大小為arcsin

2

4

點評：在第二問中題目是一個求線面角的題目，這樣的題目可以利用空間向量來解，若用空間向量來解，題目的重點是數字的運算，而本方法是考查推理證明．