Question

如圖所示，正在亞丁灣執行護航任務的某導彈護衛艦，突然收到一艘商船的求救信號，緊急前往相關海域．到達相關海域O處后發現，在南偏西20°、5海里外的洋面M處有一條海盜船，它正以每小時20海里的速度向南偏東40°的方向逃竄．某導彈護衛艦當即施放載有突擊隊員的快艇進行攔截，快艇以每小時30海里的速度向南偏東θ°的方向全速追擊．請問：快艇能否追上海盜船？如果能追上，請求出sin（θ°+20°）的值；如果未能追上，請說明理由．（假設海面上風平浪靜、海盜船逃竄的航向不變、快艇運轉正常無故障等）

Answer 1

分析：先假設經過t小時在N處追上海盜船，在△OMN中由余弦定理可得t的關系式，解得t＞0，進而推斷快艇能追上海盜船，再利用正弦定理求得sin（θ°+40°）的值．

解答：解：假設經過t小時在N處追上海盜船．
在△OMN中，|OM|=5，|MN|=20t，|ON|=30t，∠OMN=120°．
由余弦定理有900t²=400t²+25-2×5×20tcos120°=400t²+25+100t，
化簡得20t²-4t-1=0，解之得t=

1+ 6

10

＞0，∴快艇能追上海盜船．
由正弦定理有

|MN|

sin(θ°+20°)

=

|ON|

sin120°

，
∴sin（θ°+20°）=

20t

30t

×

3

2

=

3

3

．

點評：本題主要考查正弦定理和余弦定理在實際中的應用．屬基礎題．