Question

(本小題滿分12分）

已知點F( 1，0)，與直線4x+3y + 1 ＝0相切，動圓M與及y軸都相切. (I )求點M的軌跡C的方程；(II)過點F任作直線l，交曲線C于A，B兩點，由點A，B分別向各引一條切線，切點 分別為P，Q，記.求證是定值.

 

Answer 1

【答案】

(I ) ；(II) 當不與軸垂直時，直線的方程為，由得，設，

∴，

當與軸垂直時，也可得。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）⊙的半徑為，⊙的方程為，

作⊥軸于，則，即，則（是過作直線的垂線的垂足），則點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線．

∴點的軌跡的方程為；                     …6分

（Ⅱ）當不與軸垂直時，直線的方程為，由得

，設，則

∴，

當與軸垂直時，也可得，

綜上，有．                                           …12分

考點：軌跡方程的求法；拋物線的簡單性質；直線方程的點斜式；直線與拋物線的綜合應用。

點評：（1）在設直線方程的點斜式時，要注意討論斜率是否存在；（2）做第二問的關鍵是：把的值用兩根之和或兩根之積表述出，從而達到應用韋達定理的目的。