Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，過F且斜率為

3

直線與拋物線在x軸上方的交點為M，過M作y軸的垂線，垂足為N，O為坐標原點，若四邊形OFMN的面積為4

3

．
（1）求拋物線的方程；
（2）若P，Q是拋物線上異于原點O的兩動點，且以線段PQ為直徑的圓恒過原點O，求證：直線PQ過定點，并指出定點坐標．

Answer 1

分析：（1）由拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F（

p

2

，0），知過F且斜率為

3

直線方程為y=

3

(x-

p

2

)，聯立

y2=2px y= 3 (x- p 2 )

，得12x²-20px+3p²=0，解得M（

3

2

p，

3

p），由此能求出拋物線的方程．
（2）①當直線PQ的斜率不存在時，設直線PQ的方程為y=x₀，x₀＞0，則x₀=2

x0

，解得x₀=4，直線PQ過定點（4，0）．
當直線PQ的斜率存在時，假設直線直線PQ過定點（4，0），則設直線PQ的方程為y=k（x-4），由此入手能夠證明直線PQ恒過定點（4，0）．

解答：（1）解：∵拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F（

p

2

，0），
∴過F且斜率為

3

直線方程為y=

3

(x-

p

2

)，
聯立

y2=2px y= 3 (x- p 2 )

，得12x²-20px+3p²=0，
解得x=

3

2

p，或x=

p

6

，
∵直線與拋物線在x軸上方的交點為M，
∴M（

3

2

p，

3

p），
∵過M作y軸的垂線，垂足為N，O為坐標原點，四邊形OFMN的面積為4

3

，
∴

1

2

(

p

2

+

3p

2

)×

3

p=4

3

，解得p=2，
∴拋物線的方程y²=4x．
（2）證明：①當直線PQ的斜率不存在時，設直線PQ的方程為y=x₀，x₀＞0，
則x₀=2

x0

，解得x₀=4，直線PQ過定點（4，0）．
②當直線PQ的斜率存在時，假設直線直線PQ過定點（4，0），則設直線PQ的方程為y=k（x-4），
聯立

y2=4x y=k(x-4)

，得k²x²-（8k²+4）x+16k²=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=8+

4

k2

，x₁x₂=16，
∴y₁+y₂=k（x₁-4）+k（x₂-4）=k（8+

4

k2

）-8k=

4

k

，
y₁y₂=k（x₁-4）•k（x₂-4）
=k²[x₁x₂-4（x₁+x₂）+16]
=k²[16-4（8+

4

k2

）+16]=-16．
∴|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

[(x1+x2)2-4x1x2]+[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(8+ 4 k2 )2-4×16+( 4 k )2-4×(-16)

=2

4 k4 + 20 k2 +16

．
∵線段PQ的中點A（4+

2

k2

，

2

k

），
∴|AO|=

(4+ 2 k2 )2+( 2 k )2

=

4 k4 + 20 k2 +16

．
∴以線段PQ為直徑的圓恒過原點O．
即假設成立，故直線PQ恒過定點（4，0）．

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查直線方程恒過定點的證明．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．