Question

（2011•嘉定區一模）已知曲線C的方程為x²+ay²=1（a∈R）．
（1）討論曲線C所表示的軌跡形狀；
（2）若a≠-1時，直線y=x-1與曲線C相交于兩點M，N，且|MN|=

2

，求曲線C的方程．

Answer 1

分析：（1）對a進行討論，分a＜0，a=0，0＜a＜1，a=1，a＞1時，可得曲線C所表示的軌跡形狀；
（2）直線與曲線聯立，確定直線l與曲線C必有兩個交點，利用韋達定理及|MN|=

2

，即可求曲線C的方程．

解答：解：（1）當a＜0時，曲線C的軌跡是焦點在x軸上的雙曲線；…（1分）
當a=0時，曲線C的軌跡是兩條平行的直線x=1和x=-1；…（1分）
當0＜a＜1時，曲線C的軌跡是焦點在y軸上的橢圓；  …（1分）
當a=1時，曲線C的軌跡是圓 x²+y²=1；          …（1分）
當a＞1時，曲線C的軌跡是焦點在x軸上的橢圓．      …（1分）
（2）由

y=x-1 x2+ay2=1

，得（a+1）x²-2ax+a-1=0…①…（2分）
因為a≠-1，所以方程①為一元二次方程，△=4a²-4（a+1）（a-1）=4＞0，所以直線l與曲線C必有兩個交點．       …（1分）
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁，x₂為方程①的兩根，所以x₁+x₂=

2a

a+1

，x₁x₂=

a-1

a+1

，…（1分）
所以|MN|=

2

|x₁-x₂|=

2

×

( 2a a+1 )2-4× a-1 a+1

=

2

，…（2分）
所以a²+2a-3=0，解得a=1或a=-3．   …（2分）
因此曲線C的方程為x²+y²=1或x²-3y²=1．   …（1分）

點評：本題考查分類討論的數學思想，考查直線與曲線的位置關系，考查韋達定理的運用，正確分類是關鍵．