Question

已知函數(shù)f（x）=kx，（k≠0）且滿足f（x+1）•f（x）=x²+x，函數(shù)g（x）=a^x，（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)，h(x)=

f(x)+1

f(x)-1

(f(x)≠1)，問是否存在實(shí)數(shù)m使得h（x）的定義域和值域都為[m，m+1]？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）已知關(guān)于x的方程g（2x+1）=f（x+1）•f（x）恰有一實(shí)數(shù)解為x₀，且x0∈(

1

4

，

1

2

)求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）=kx，（k≠0）且滿足f（x+1）•f（x）=x²+x，代入構(gòu)造關(guān)于k的方程，解方程求出k值，可得得函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)，則f（x）=x，h（x）=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

，分析函數(shù)的單調(diào)性后，可得

h(m)=m+1 h(m+1)=m

，解方程組可得滿足條件的m的值；
（III）由關(guān)于x的方程g（2x+1）=f（x+1）•f（x），可得函數(shù)y=a^2x+1的圖象與函數(shù)y=x²+x的圖象在有且只有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間(

1

4

，

1

2

)上，進(jìn)而構(gòu)造關(guān)于a的不等式組，解不等式組可得實(shí)數(shù)a的取值范圍

解答：解：（I）∵f（x）=kx，
∴f（x）=k（x+1）
∴f（x+1）•f（x）=k²（x+1）x=x²+x
解得k=±1
∴f（x）=x或f（x）=-x
（II）若函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)，則f（x）=x
則h(x)=

f(x)+1

f(x)-1

=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

，（x≠1）
當(dāng)x＜1或x＞1時(shí)，函數(shù)h（x）均為減函數(shù)，若h（x）的定義域和值域都為[m，m+1]
則

h(m)=m+1 h(m+1)=m

即

m+1 m-1 =m+1 (m+1)+1 (m+1)-1 =m

解得：m=-1或m=2
（III）∵關(guān)于x的方程g（2x+1）=f（x+1）•f（x）恰有一實(shí)數(shù)解為x₀，且x0∈(

1

4

，

1

2

)
∴函數(shù)y=a^2x+1的圖象與函數(shù)y=x²+x的圖象在有且只有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間(

1

4

，

1

2

)上，
故

0＜a＜1 a2× 1 4 +1＞( 1 4 )2+ 1 4 a2× 1 2 +1＜( 1 2 )2+ 1 2

解得(

5

16

)

2

3

＜a＜

3

2

點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考察了絕對值函數(shù)，函數(shù)的定義域、值域構(gòu)造方程的思想，二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等，解題的關(guān)鍵是理解題意，將問題正確轉(zhuǎn)化，進(jìn)行分類討論探究，本題考察了分類討論的思想，方程的思想，考察了推理判斷能力，是一道綜合性較強(qiáng)的題，思維難度大，解題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)，本題易因?yàn)榭紤]不完善出錯(cuò)．