Question

(本題滿分12分) 

已知a∈R，函數f(x)＝4x³－2ax＋a.

（1）求f(x)的單調區間；

（2）證明：當0≤x≤1時，f(x)＋|2－a|>0.

 

Answer 1

【答案】

(1)函數f(x)的單調遞增區間為和，

單調遞減區間為.(2)見解析。

【解析】

試題分析：（1）根據函數的導數符號與函數單調性的關系來判定求解其單調區間。

（2）要證明不等式恒成立問題，那么要轉化為函數的最值問題來處理即可或者構造函數求解函數的 最小值大于零得到。

解：

 (1)由題意得f′(x)＝12x²－2a.

當a≤0時，f′(x)≥0恒成立，此時f(x)的單調遞增區間為(－∞，＋∞).

當a＞0 時，f′(x)＝12，此時

函數f(x)的單調遞增區間為和，

單調遞減區間為.

(2)由于0≤x≤1，故

當a≤2時，f(x)＋|a－2|＝4x³－2ax＋2≥4x³－4x＋2.

當a＞2時，f(x)＋|a－2|＝4x³＋2a(1－x)－2≥4x³＋4(1－x)－2＝4x³－4x＋2.

設g(x)＝2x³－2x＋1,0≤x≤1，則g′(x)＝6x²－2＝6，于是

x	0
		-	0	+
	1	減函數	極小值	增函數	1

所以g(x)_min＝g＝1－＞0.

所以當0≤x≤1時，2x³－2x＋1＞0.

故f(x)＋|a－2|≥4x³－4x＋2＞0.

考點：本試題主要考查了導數在研究函數問題中的運用。

點評：對于含有參數的二次不等式問題的求解是解決導數中常見的非常重要的，注意對于開口和判別式的情況進行分類討論得到結論。