Question

三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面是邊長為4的正三角形，側面AA₁C₁C是菱形，PA⊥BC，點P是A₁C₁的中點，∠C₁CA＝60°．

(1)求證：PA⊥平面ABC；

(2)求直線CC₁與直線B₁P所成角的正弦值；

(3)求四棱錐P－AA₁B₁B的體積．

Answer 1

答案：
解析：

(14分)證明：(1)∵四邊形AA1C1C是菱形，∠C1CA＝60°， 　　∴△AC1A1是正三角形，又P是A1C1的中點，∴PA⊥A1C1，　3分 　　∴PA⊥AC．又PA⊥BC，AC∩BC＝C∴PA⊥平面ABC．　6分 　　(2)由(1)，PA⊥平面ABC，∴PA⊥平面A1B1C1， 　　由△AC1A1是正三角形，∴PB1⊥A1C1，　8分 　　∴B1P⊥平面AA1C1C，∴B1P⊥CC1． 　　∴CC1與B1P所成的角的正弦值為1．　10分 　　(3)　12分 　　　14分