Question

已知函數f(x)=

x2-(a-1)x+3

x-a

（x≠a，a為非零的常數）
（1）解不等式f（x）＜x
（2）如果a=1，且x＞1，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）＜x，得

x2-(a-1)x+3

x-a

＜x，化為

x+3

x-a

＜0，得（x+3）（x-a）＜0．對a與-3的關系討論即可得出；
（2）如果a=1，則f(x)=

x2+3

x-1

當x＞1時，f(x)=

(x2-1)+4

x-1

=(x-1)+

4

x-1

+2利用基本不等式即可得出．

解答：解：（1）由f（x）＜x，得

x2-(a-1)x+3

x-a

＜x，
化為

x+3

x-a

＜0，得（x+3）（x-a）＜0．
（i）當a＜-3時，原不等式的解集為（a，-3）
（ii）當a=-3時，原不等式的解集為φ；
（iii）當a＞-3時，原不等式的解集為（-3，a）．
（2）如果a=1，則f(x)=

x2+3

x-1

當x＞1時，f(x)=

(x2-1)+4

x-1

=(x-1)+

4

x-1

+2

∵x-1＞0，  4 x-1 ＞0 ∴f(x)≥2 (x-1)• 4 x-1 +2=6

當且僅當x-1=

4

x-1

時，即x=3時取等號
故當a=1且x＞1時，f（x）的取值范圍是[6，+∞）．

點評：熟練掌握分式不等式等價轉化為整式不等式、一元二次不等式的解法、分類討論思想方法、基本不等式的性質等是解題的關鍵．