Question

【題目】如圖，拋物線C：y2=2px的焦點為F，拋物線上一定點Q（1，2）．

（1）求拋物線C的方程及準線l的方程；
（2）過焦點F的直線（不經過Q點）與拋物線交于A，B兩點，與準線l交于點M，記QA，QB，QM的斜率分別為k1 ， k2 ， k3 ， 問是否存在常數λ，使得k1+k2=λk3成立？若存在λ，求出λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把Q（1，2）代入y2=2px，得2p=4，所以拋物線方程為y2=4x，

準線l的方程為x=﹣1

（2）

解：由條件可設直線AB的方程為y=k（x﹣1），k≠0．

由拋物線準線l：x=﹣1，可知M（﹣1，﹣2k），又Q（1，2），所以 ，

把直線AB的方程y=k（x﹣1），代入拋物線方程y2=4x，并整理，可得k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，設A（x1，y1），B（x2，y2），則 ，

又Q（1，2），故 ．因為A，F，B三點共線，所以kAF=kBF=k，

即 ，

所以 ，

即存在常數λ=2，使得k1+k2=2k3成立

【解析】（1）把Q（1，2）代入y2=2px，得2p=4，即可求拋物線C的方程及準線l的方程；（2）把直線AB的方程y=k（x﹣1），代入拋物線方程y2=4x，并整理，求出k1+k2 ， k3 ， 即可得出結論．