Question

已知函數f(x)=

1

2

mx2-2x+1+ln(x+1)
（Ⅰ）當m＞0時，求函數的單調區間；
（Ⅱ）當m≥1時，曲線C：y=f（x）在點P（0，1）處的切線l與C有且只有一個公共點，求m的取值的集合M．

Answer 1

分析：根據函數f（x）的解析式求出f（x）的導函數，
（Ⅰ）把求出的導函數通分并分解因式后，由導函數的正負即可得到函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）由題意可知點P在曲線C上，把點P的橫坐標代入導函數中求出的函數值即為切線方程的斜率，根據切點坐標和求出的斜率寫出切線的方程，與曲線C的方程聯立，消去y后得到關于x的一元二次方程只有一個解，設方程左邊的式子等于g（x），且得到g（0）=0，求出g（x）的導函數，分m=1和m大于1兩種情況考慮：當m=1時，代入得到g（x）的導函數大于等于0，即g（x）為增函數，符合題意；當m大于1時，根據導函數的正負討論函數的單調性，進而得到函數在m大于1時有零點，不合題意，綜上，得到滿足題意m的取值范圍．

解答：解：由題設知：f′(x)=mx-2+

1

x+1

  (x＞-1)
（Ⅰ）當m＞0時，f′(x)=

mx2-(m-2)x-1

x+1

=

m

x+1

(x-

2-m- m2+4

2m

)(x-

m2+4 -m+2

2m

)，
而

m2+4 -m+2

2m

＞0＞

2-m- m2+4

2m

；

2-m- m2+4

2m

-(-1)=

m+2- m2+4

2m

＞0
∴函數f（x）單調遞增區間為(-1，-

m-2+ m2+4

2m

)∪(

m2+4 -m+2

2m

，+∞)；
單調遞減區間為(-

m-2+ m2+4

2m

，

m2+4 -m+2

2m

)．
（Ⅱ）由題設知：P∈C，f'（0）=-1，切線l的方程為y=-x+1，
于是方程：-x+1=

1

2

mx2-2x+1+ln(x+1)，即

1

2

mx2-x+ln(x+1)=0有且只有一個實數根；
設g(x)=

1

2

mx2-x+ln(x+1)，得g（0）=0；
g′(x)=

mx2+(m-1)x

x+1

=

mx

x+1

[x-(

1

m

-1)]，
當m=1時，g′(x)=

x2

x+1

≥0，g（x）為增函數，符合題設；
當m＞1時，有-1＜

1

m

-1＜0，得x∈（0，+∞），
g'（x）＞0，g（x）在此區間單調遞增，g（x）＞0；
x∈(

1

m

-1，0)，g′(x)＜0，g(x)在此區間單調遞減，g（x）＞0；
x∈(-1，

1

m

-1)，g′(x)＞0，g(x)在此區間單調遞增，g(x)∈(-∞，g(

1

m

-1))；
此區間存在零點，即得m＞1不符合題設；
∴由上述知：M={1}．

點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導函數的正負判斷函數的單調性，是一道中檔題．