Question

若拋物線C：y²=x上一點(diǎn)P到A（3，-1）的距離與到焦點(diǎn)F的距離之和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

（1，-1）

．

Answer 1

分析：根據(jù)拋物線定義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在拋物線上求一點(diǎn)P，使P點(diǎn)到A的距離與P點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線距離之和最小．因此過(guò)A點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，可得垂線與拋物線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P，利用拋物線方程即可算出P的坐標(biāo)．

解答：解：作出拋物線的準(zhǔn)線l，設(shè)P在l上的射影點(diǎn)為Q，連結(jié)PQ，
根據(jù)拋物線的定義，得|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|，
運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P，可得當(dāng)A、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+|PQ|=|AQ|達(dá)到最小值．
∴當(dāng)|PA|+|PF|取最小值時(shí)，直線PA與準(zhǔn)線l垂直，
可設(shè)P的坐標(biāo)為（x₀，-1），代入拋物線方程得（-1）²=x₀，
此時(shí)的點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，-1），
即點(diǎn)P到A的距離與P到焦點(diǎn)F的距離之和最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1）．
故答案為：（1，-1）

點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線張口以內(nèi)的點(diǎn)A，求拋物線上動(dòng)點(diǎn)P與A和拋物線的焦點(diǎn)的距離之和達(dá)最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．著重考查了拋物線定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．