Question

在算式“4×□+1×△=30”的兩個□，△中，分別填入兩個正整數，使它們的倒數之和最小，則這兩個數構成的數對（□，△）應為

1. A.
   （4，14）
2. B.
   （5，10）
3. C.
   （6，6）
4. D.
   （3，18）

Answer 1

B
分析：先設出△，□，然后利用代入消元法表示出其倒數和，由于該倒數和的形式中分母次數高于分子，則求其倒數的最大值，這與原倒數和的最小值是一致的；最終把代數式轉化為x++a（x＞0）的形式，利用基本不等式求最值，則由取最值的條件即可解決問題．
解答：設1×m+4n=30，m、n∈N₊，則m=30-4n，其中1≤n≤7．
所以y===，
則 =====+
==-+=-[（10-n）+]+≤-×2×+=．
當10-n=時取等號，即 取得最大值，y取得最小值．
解得n=5，則m=10．
則這兩個數構成的數對（□，△）應為（5，10）
故選B．
點評：本題主要考查了代數式向形如x++a（x＞0，a為常數）的代數式的轉化方法，注意分子次數必須高于分母次數；同時考查基本不等式的運用條件，特別是取等號時的條件．該題代數運較為繁瑣，運算量較大，屬于難題．