Question

對(duì)拋物線C：x²=4y，有下列命題：
①設(shè)直線l：y=kx+l，則直線l被拋物線C所截得的最短弦長(zhǎng)為4；
②已知直線l：y=kx+l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，則以AB為直徑的圓一定與拋物線的準(zhǔn)線相切；
③過(guò)點(diǎn)P（2，t）（t∈R）與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有1條或3條；
④若拋物線C的焦點(diǎn)為F，拋物線上一點(diǎn)Q（2，1）和拋物線內(nèi)一點(diǎn)R（2，m）（m＞1），過(guò)點(diǎn)Q作拋物線的切線l₁，直線l₂過(guò)點(diǎn)Q且與l₁垂直，則l₂一定平分∠RQF．
其中你認(rèn)為是真命題的所有命題的序號(hào)是

①②④

．

Answer 1

分析：①將直線和拋物線聯(lián)立，解出弦長(zhǎng)．②利用直線與拋物線的位置關(guān)系進(jìn)行判斷．③設(shè)直線方程，聯(lián)立拋物線進(jìn)行求解判斷．
④作出切線，利用拋物線的定義，判斷l(xiāng)₂是否平分∠RQF．

解答：解：①因?yàn)閽佄锞�的焦點(diǎn)為F（0，1），直線y=kx+l過(guò)焦點(diǎn)F，所以當(dāng)k=0時(shí)，直線l被拋物線C所截得的通徑最短，此時(shí)為2p=4，所以①正確．
②直線y=kx+l過(guò)焦點(diǎn)F，且拋物線的準(zhǔn)線方程為y=-1．所以根據(jù)拋物線的定義可知，A，B到拋物線準(zhǔn)線的距離之和為AB，
所以AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為

AB

2

，所以此時(shí)以AB為直徑的圓一定與拋物線的準(zhǔn)線相切，所以②正確．
③當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)為x=2，此時(shí)直線和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)滿足條件的直線只有1條．當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的直線斜率存在時(shí)，不妨設(shè)為k，
此時(shí)和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有兩條切線，所以過(guò)點(diǎn)P（2，t）（t∈R）與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有1條或2條，所以③錯(cuò)誤．
④因?yàn)閽佄锞�的焦點(diǎn)為F（0，1），又Q（2，1），R（2，m），所以三角形FQR為直角三角形，由x²=4y，得y=

1

4

x2，求導(dǎo)得y′=

1

2

x，
所以切線l₁的斜率為k₁=1，即直線l₁的傾斜角為45°，因?yàn)橹本�l₂過(guò)點(diǎn)Q且與l₁垂直，所以l₂一定平分∠RQF．所以④正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的定義和性質(zhì)，以及直線和拋物線的位置關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．