Question

如圖所示，正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，側面對角線AB₁，BC₁上分別有兩點E，F，且B₁E=C₁F.求證：EF∥平面ABCD.

Answer 1

證明略

  方法一 分別過E，F作EM⊥AB于M，FN⊥BC于N，連接MN.

∵BB₁⊥平面ABCD，
∴BB₁⊥AB，BB₁⊥BC，
∴EM∥BB₁，FN∥BB₁，
∴EM∥FN.
又∵B₁E=C₁F，∴EM=FN，
故四邊形MNFE是平行四邊形，∴EF∥MN.
又MN平面ABCD，EF平面ABCD，
所以EF∥平面ABCD.
方法二 過E作EG∥AB交BB₁于G，
連接GF，則，
∵B₁E=C₁F，B₁A=C₁B，
∴，∴FG∥B₁C₁∥BC，
又EG∩FG=G，AB∩BC=B，
∴平面EFG∥平面ABCD，而EF平面EFG，
∴EF∥平面ABCD.