Question

已知函數f₁（x）=

1

1+2x

，fn+1(x)=f1[fn(x)]且an=|

fn(0)- 1 2

fn(0)+1

|．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）若數列{(n+1)an}的前n項和為Sn，求證：Sn＜

3

2

．

Answer 1

分析：（I）通過已知條件，求出a_n與a_n+1的關系并判斷其數列{a_n}是等比數列，從而求出通項公式；
（II）由（I）可知用n的代數式表示s_n，然后利用錯位相減法，化簡求得s_n，從而判斷s_n＜

3

2

，即得證．

解答：解：（I）由已知fn+1(x)=

1

1+2fn(x)

所以，fn+1(x)-

1

2

=

1

1+2fn(x)

-

1

2

=-

fn(x)- 1 2

1+2fn(x)

fn+1(x)+1=

1

2fn(x)

+1=

2[fn(1)+1]

1+2fn(x)

所以，|

fn+1(x)- 1 2

fn+1(x)+1

|=

1

2

|

fn(x)- 1 2

fn(x)+1

|?|

fn+1(0)- 1 2

fn+1(0)+1

|=

1

2

|

fn(0)- 1 2

fn(0)+1

|
即an+1=

1

2

an，其中a1=|

f1(0)- 1 2

f1(0)+1

|=

1

4

所以，數列{an}是以

1

4

為首項，

1

2

為公比的等比數列，故an=

1

4

×(

1

2

)n-1=

1

2n+1

（II）Sn=

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n+1

2n+1

所以，2Sn=

2

2

+

3

22

+

4

23

+…+

n+1

2n

，兩式相減
得Sn=

2

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n+1

2n+1

=

3

2

-

n+3

2n+1

＜

3

2

得證．

點評：此題考查利用定義法判斷一個數列是等比數列，及求和中常用的錯位相減法．