Question

已知函數f（2^x）=x²-2ax+3
（1）求函數y=f（x）的解析式
（2）若函數y=f（x）在[

1

2

，8]上的最小值為-1，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根據題意設t=2^x，求出t的范圍和x，代入解析式，再把t換為x，求出f（x）的解析式；
（2）由x的范圍求出

log

x 2

的范圍，把

log

x 2

作為一個整體對f（x）配方，根據區間和對稱軸分類討論，由二次函數的性質求出最小值，列出方程求出a的值．

解答：解：（1）設t=2^x，則t＞0，且x=

log

t 2

代入解析式得，
∴f(t)=

(log

t 2

)2-2a

log

t 2

+3，t＞0，
則f(x)=

(log

x 2

)2-2a

log

x 2

+3，
（2）由

1

2

≤x≤8得，-1≤

log

x 2

≤3，
∴f(x)=

(log

x 2

)2-2a

log

x 2

+3=

(log

x 2

-a)2+3-a²
①當a≤-1時，即

log

x 2

=-1，f（x）的最小值是1+2a+3=-1，
解得a=-

5

2

，符合題意；
②當-1＜a＜3時，即

log

x 2

=a時，f（x）的最小值是3-a²=-1，
解得a=2或-2（舍去），則a=2；
③當a≥3時，即

log

x 2

=3時，f（x）的最小值是9-6a+3=-1，
解得a=

5

3

＜3，舍去，
綜上得，a的值為：-

5

2

或2．

點評：本題考查了對數的運算，二次函數的性質，以及換元法求函數的解析式、最值問題，注意換元后需要求出未知數的范圍，分類討論思想的應用，屬于中檔題．