Question

【題目】已知橢圓的右焦點F與拋物線焦點重合，且橢圓的離心率為，過軸正半軸一點 且斜率為的直線交橢圓于兩點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）是否存在實數使以線段為直徑的圓經過點，若存在，求出實數的值；若不存在說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）根據拋物線焦點可得,又根據離心率可求,利用，即可寫出橢圓的方程

（2）由題意可設直線的方程為，聯立方程組，消元得一元二次方程，寫出，利用根與系數的關系可求存在m.

解：（1）拋物線的焦點是

，，又橢圓的離心率為，即

，，則

故橢圓的方程為.

（2）由題意得直線的方程為

由消去得.

由，解得.

又，.

設，，則，.

.

，，

若存在使以線段為直徑的圓經過點，則必有，即，

解得.又，.

即存在使以線段為直徑的圓經過點.