Question

設n為正整數，規定：，已知．
（1）解不等式：f（x）≤x；
（2）設集合A={0，1，2}，對任意x∈A，證明：f₃（x）=x；
（3）探求；
（4）若集合B={x|f₁₂（x）=x，x∈[0，2]}，證明：B中至少包含有8個元素．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為是分段函數，所以先根據定義域選擇解析式來構造不等式，當0≤x≤1時，由2（1-x）≤x求解；當1＜x≤2時，由x-1≤x求解，取后兩個結果取并集．
（2）先求得f（0），f（1），f（2），再分別求得f（f（0）），f（f（f（0）））；f（f（1）），f（f（f（1）））；f（f（f（2）））．再觀察與自變量是否相等即可．
（3）看問題有2008重求值，一定用到周期性，所以先求出 ，，，，觀察是以4為周期，有 （k，r∈N）求解
（4）由（1）可得∈B、由（2）可得0、1、2∈B、由（3）可得、、、∈B，進而可證得結論．
解答：解：（1）①當0≤x≤1時，由2（1-x）≤x得，x≥．
∴≤x≤1．
②當1＜x≤2時，因x-1≤x恒成立．
∴1＜x≤2．
由①，②得，f（x）≤x的解集為{x|≤x≤2}．
（2）∵f（0）=2，f（1）=0，f（2）=1，
∴當x=0時，f₃（0）=f（f（f（0）））=f（-f（2））=f（1）=0；
當x=1時，f₃（1）=f（f（f（1）））=f（f（0））=f（2）=1；
當x=2時，f₃（2）=f（f（f（2）））=f（f（1））=f（0）=2．
即對任意x∈A，恒有f₃（x）=x．
（3），
，
，
，
一般地，（k，r∈N）．
∴
（4）由（1）知，f（）=，∴f_n（）=，則f₁₂（）=，∴∈B．
由（2）知，對x=0、1、2，恒有f₃（x）=x，∴f₁₂（x）=x，則0、1、2∈B．
由（3）知，對x=、、、，恒有f12（x）=x，∴、、、∈B．
綜上所述、0、1、2、、、、∈B．
∴B中至少含有8個元素．
點評：本題考查的知識點是分段函數及分段不等式的解法，元素與集合關系的判定，函數的周期性，函數恒成立問題，分段函數問題要注意分類討論，還考查了分段函數多重求值，要注意從內到外，根據自變量取值選擇好解析式．