Question

【題目】已知函數.

（1）當時，設，為的兩個不同極值點，證明：；

（2）設，為的兩個不同零點，證明：.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求出函數的導函數，，為的兩個不同極值點，轉化為為方程的兩不等正根，再利用韋達定理和基本不等式即可證明；

（2）要證明，只要證明和，分別利用導數進行證明即可.

(1)當時，，

，

為的兩個不同極值點，

為方程的兩不等正根，

，

且由韋達定理，

，

.

（2）要證明，

即，

下面分別證明和，

兩式相加即得結論.

（i），

令，

即證.

令函數，則，

在單調遞增，在單調遞減，

.

（ii）再證明，

即.

為的兩個不同零點，不妨設，

①

②

①-②可得，

兩邊同時乘以，

可得，

即.

令，則.

即證，

即，

即證.

令函數，

則，

在單調遞增，

.

由（i）（ii）可得，

.