Question

給出以下四個結(jié)論：
（1）函數(shù)f(x)=

x-1

2x+1

的對稱中心是(-

1

2

，-

1

2

)；
（2）若關(guān)于x的方程x-

1

x

+k=0在x∈（0，1）沒有實數(shù)根，則k的取值范圍是k≥2；
（3）已知點P（a，b）與點Q（1，0）在直線2x-3y+1=0兩側(cè)，當(dāng)a＞0且a≠1，b＞0時，

b

a-1

的取值范圍為(-∞，-

1

3

)∪(

2

3

，+∞)；
其中正確的結(jié)論是：

 

．

Answer 1

分析：把函數(shù)通過分子常數(shù)化變化成反比例函數(shù)的形式，寫出對稱中心，得到第一個說法不正確；構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的值域，根據(jù)函數(shù)值域得到所給的k的值能夠使得函數(shù)有根，直線與線段PQ有交點，根據(jù)要求的結(jié)果是PQ兩點連線的斜率．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=

x-1

2x+1

=

1

2

•

x-1

x+ 1 2

=

1

2

[1- 

3 2

x+ 1 2

]=-

3 4

x+ 1 2

+

1

2

，
∴函數(shù)的對稱中心是（-

1

2

，

1

2

)，故（1）不正確．
令f（x）=x-

1

x

+k，函數(shù)是一個遞增函數(shù)，
當(dāng)x∈（0，1）時，
函數(shù)的值從負(fù)無窮變化到接近于0，
∴當(dāng)k≥2時，函數(shù)與x軸有交點，故（2）不正確，
點P（a，b）與點Q（1，0）在直線2x-3y+1=0兩側(cè)，
即直線與線段PQ有交點，
根據(jù)要求的結(jié)果是PQ兩點連線的斜率，
得到斜率范圍為(-∞，-

1

3

)∪(

2

3

，+∞)，故（3）正確，
故答案為：（3）

點評：本題考查圖形的對稱性，考查根的存在性與根的個數(shù)的判斷，考查直線與線段之間的關(guān)系，是一個綜合題目．