Question

已知正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的每條棱長均為a,M為棱A₁C₁上的動點.

(1)當M在何處時,BC₁∥平面MB₁A,并證明之;

(2)若BC₁∥平面MB₁A,求平面MB₁A與平面ABC所成的銳二面角的大小(結果用反三角函數值表示);

(3)求三棱錐B—AB₁M體積的最大值.

Answer 1

解:(1)當M是A₁C₁中點時,BC₁∥平面MB₁A.

∵M為A₁C₁中點,延長AM、CC₁,設AM與CC₁延長線交于點N,則NC₁=C₁C=a.

連結NB₁并延長與CB延長線交于點G,

則BG=CB,NB₁=B₁G.

在△CGN中,BC₁為中位線,∴BC₁∥GN.

又GN平面MAB₁,BC₁?平面MAB₁,

∴BC₁∥平面MAB₁.

(2)∵BC₁∥平面MB₁A,

∴M為A₁C₁中點.

在△AGC中,BC=BA=BG,

∴∠GAC=90°,即AC⊥AG.

又AG⊥AA₁,AA₁∩AC=A,

∴AG⊥平面A₁ACC₁.

∴AG⊥AM.

∴∠MAC為平面MB₁A與平面ABC所成二面角的平面角.

∴tan∠MAC==2.

∴所求銳二面角大小為arctan2.

(3)設動點M到平面A₁ABB₁的距離為h_m,

則===×a²h_m≤a³.

當點M與點C₁重合時,三棱錐B—AB₁M的體積最大,最大值為a³.