Question

【題目】已知函數.

（1）若是函數的極值點，求的單調區間；

（2）當時，證明：

Answer 1

【答案】（1）遞減區間為（-1，0），遞增區間為（2）見解析

【解析】

（1）根據函數解析式，先求得導函數，由是函數的極值點可求得參數.求得函數定義域，并根據導函數的符號即可判斷單調區間.

（2）當時，.代入函數解析式放縮為，代入證明的不等式可化為，構造函數，并求得，由函數單調性及零點存在定理可知存在唯一的，使得成立，因而求得函數的最小值，由對數式變形化簡可證明，即成立，原不等式得證.

（1）函數

可求得，則

解得

所以，定義域為

，

在單調遞增，而，

∴當時，，單調遞減，

當時，，單調遞增，

此時是函數的極小值點，

的遞減區間為，遞增區間為

（2）證明：當時，

，

因此要證當時，，

只需證明，

即

令，

則，

在是單調遞增，

而，

∴存在唯一的，使得，

當，單調遞減，當，單調遞增，

因此當時，函數取得最小值，

，

，

故，

從而，即，結論成立.