Question

已知數列滿足（為常數），成等差數列.
（Ⅰ）求p的值及數列的通項公式；
（Ⅱ）設數列滿足，證明：.

Answer 1

（Ⅰ）,；（Ⅱ）詳見解析.

解析試題分析：（Ⅰ）利用成等差數列.可求p的值，再用累加法求數列的通項公式；（Ⅱ）通過作差判斷數列的單調性或利用數學歸納法進行證明.
試題解析：（Ⅰ）由
得
∵成等差數列，
∴
即得              （2分）
依題意知，
當時，


相加得
∴
∴                      （4分）
又適合上式，                      （5分）
故                         （6分）
（Ⅱ）證明：∵∴
∵       （8分）
若則
即當時，有                  （10分）
又因為                    （11分）
故                         （12分）
（Ⅱ）法二：要證
只要證                     （7分）
下面用數學歸納法證明：
①當時，左邊=12，右邊=9，不等式成立；
當時，左邊=36，右邊=36，不等式成立.         （8分）
②假設當時，成立.        （9分）
則當時，左邊=4×3^k+1=3×4×3^k≥3×9k²，
要證3×9k²≥9（k+1）²，
只要正3k²≥（k+1）²，
即證2k²-2k-1≥0.                     （10分）
而當k即且時，上述不等式成立.     （11分）
由①②可知，對任意，所證不等式成立.         （12分）
考點：1.等差中項；2.累加法求和；3.數列單調性；4.數學歸納法.