Question

【題目】已知函數f（x）=ex﹣ln（x+m）
（1）設x=0是f（x）的極值點，求m，并討論f（x）的單調性；
（2）當m≤2時，證明f（x）＞0．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，x=0是f（x）的極值點，∴ ，解得m=1．

所以函數f（x）=ex﹣ln（x+1），其定義域為（﹣1，+∞）．

∵ ．

設g（x）=ex（x+1）﹣1，則g′（x）=ex（x+1）+ex＞0，所以g（x）在（﹣1，+∞）上為增函數，

又∵g（0）=0，所以當x＞0時，g（x）＞0，即f′（x）＞0；當﹣1＜x＜0時，g（x）＜0，f′（x）＜0．

所以f（x）在（﹣1，0）上為減函數；在（0，+∞）上為增函數；

（2）解：證明：當m≤2，x∈（﹣m，+∞）時，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需證明當m=2時f（x）＞0．

當m=2時，函數 在（﹣2，+∞）上為增函數，且f′（﹣1）＜0，f′（0）＞0．

故f′（x）=0在（﹣2，+∞）上有唯一實數根x0，且x0∈（﹣1，0）．

當x∈（﹣2，x0）時，f′（x）＜0，當x∈（x0，+∞）時，f′（x）＞0，

從而當x=x0時，f（x）取得最小值．

由f′（x0）=0，得 ，ln（x0+2）=﹣x0．

故f（x）≥ = ＞0．

綜上，當m≤2時，f（x）＞0．

【解析】（1）求出原函數的導函數，因為x=0是函數f（x）的極值點，由極值點處的導數等于0求出m的值，代入函數解析式后再由導函數大于0和小于0求出原函數的單調區間；（2）證明當m≤2時，f（x）＞0，轉化為證明當m=2時f（x）＞0．求出當m=2時函數的導函數，可知導函數在（﹣2，+∞）上為增函數，并進一步得到導函數在（﹣1，0）上有唯一零點x0 ， 則當x=x0時函數取得最小值，借助于x0是導函數的零點證出f（x0）＞0，從而結論得證．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．