Question

（2013•未央?yún)^(qū)三模）（不等式選講）若實(shí)數(shù)a，b，c滿足a²+b²+c²=4，則3a+4b+5c的最大值為

10

2

．

Answer 1

分析：首先分析題目已知a²+b²+c²=4，求3a+4b+5c的最大值，考慮到柯西不等式（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）≥（ax+by+cz）²的應(yīng)用，構(gòu)造出柯西不等式求出（3a+4b+5c）²的最大值開方即可得到答案．

解答：解：因?yàn)橐阎猘、b、c是實(shí)數(shù)，且a²+b²+c²=4根據(jù)柯西不等式（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）≥（ax+by+cz）²
故有（a²+b²+c²）（3²+4²+5²）≥（3a+4b+5c）²
故（3a+4b+5c）²≤200，即3a+4b+5c≤10

2

即2a+b+2c的最大值為10

2

．
故答案為：10

2

．

點(diǎn)評：此題主要考查一般形式的柯西不等式的應(yīng)用，對于此類題目很多同學(xué)一開始就想到應(yīng)用球的參數(shù)方程求解，這個(gè)方法可行但是計(jì)算量較高，而應(yīng)用柯西不等式求解較簡單，同學(xué)們需要很好的理解掌握．