Question

24、關于x的不等式lg（|x+3|-|x-7|）＜m．
（Ⅰ）當m=1時，解此不等式；
（Ⅱ）設函數f（x）=lg（|x+3|-|x-7|），當m為何值時，f（x）＜m恒成立？

Answer 1

分析：（1）轉化成絕對值不等式，令每項等于零，得到的值作為討論的分區點，然后再分區間討論絕對值不等式，最后應求出解集的并集．
（2）解決恒成立問題，可將問題轉化為研究函數f（x）的最大值小于m即可．

解答：解：（1）當m=1時，原不等式可變為0＜|x+3|-|x-7|＜10，
可得其解集為{x|2＜x＜7}．
（2）設t=|x+3|-|x-7|，
則由對數定義及絕對值的幾何意義知0＜t≤10，
因y=lgx在（0，+∞）上為增函數，
則lgt≤1，當t=10，x≥7時，lgt=1，
故只需m＞1即可，
即m＞1時，f（x）＜m恒成立．

點評：本題考查了對數的運算性質，以及絕對值不等式的解法，所謂零點分段法，即令每項等于零，得到的值作為討論的分區點，然后再分區間討論絕對值不等式，最后應求出解集的并集．