Question

已知x=1是函數f（x）=mx³-3（m+1）x²+nx+1的一個極值點，其中m，n∈R，m＜0．
（Ⅰ）求m與n的關系表達式；
（Ⅱ）求f（x）的單調區間；
（Ⅲ）當x∈[-1，1]時，函數y=f（x）的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3m，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x），因為x=1是函數的極值點，所以得到f'（1）=0求出m與n的關系式；
（Ⅱ）令f′（x）=0求出函數的極值點，討論函數的增減性確定函數的單調區間；
（Ⅲ）函數圖象上任意一點的切線斜率恒大于3m即f′（x）＞3m代入得到不等式即3m（x-1）[x-（1+

2

m

）]＞3m，又因為m＜0，分x=1和x≠1，當x≠1時g（t）=t-

1

t

，求出g（t）的最小值．要使

2

m

＜（x-1）-

1

x-1

恒成立即要g（t）的最小值＞

2

m

，解出不等式的解集求出m的范圍．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3mx²-6（m+1）x+n．
因為x=1是f（x）的一個極值點，所以f'（1）=0，即3m-6（m+1）+n=0．
所以n=3m+6．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=3mx²-6（m+1）x+3m+6=3m（x-1）[x-（1+

2

m

）]
當m＜0時，有1＞1+

2

m

，當x變化時f（x）與f'（x）的變化如下表：

由上表知，當m＜0時，f（x）在（-∞，1+

2

m

）單調遞減，在（1+

2

m

，1）單調遞增，在（1，+∞）單調遞減．
（Ⅲ）由已知，得f′（x）＞3m，即3m（x-1）[x-（1+

2

m

）]＞3m，
∵m＜0．∴（x-1）[x-1（1+

2

m

）]＜1．（*）
1⁰x=1時．（*）式化為0＜1怛成立．
∴m＜0．
2⁰x≠1時∵x∈[-1，1]，∴-2≤x-1＜0．
（*）式化為

2

m

＜（x-1）-

1

x-1

．
令t=x-1，則t∈[-2，0），記g（t）=t-

1

t

，
則g（t）在區間[-2，0）是單調增函數．∴g（t）_min=g（-2）=-2-

1

-2

=-

3

2

．
由（*）式恒成立，必有

2

m

＜-

3

2

?-

4

3

＜m，又m＜0．∴-

4

3

＜m＜0．
綜上1⁰、2⁰知-

4

3

＜m＜0．

點評：考查學生利用待定系數法求函數解析式的能力，利用導數研究函數極值和單調性的能力，以及掌握不等式恒成立的條件．