Question

2002年8月，在北京召開的國際數學家大會會標如圖所示，它是由4個相同的直角三角形與中間的小
正方形拼成的一大正方形．已知大正方形的面積是1，小正方形的面積是

1

25

．記直角三角形中的一個銳角為θ．
（1）請根據本題題意寫出sinθ與cosθ之間的等量關系，并求tanθ的值；
（2）解關于x的不等式log_tanθ（x²-1）≥0．

Answer 1

分析：（1）根據大正方形的面積是1，小正方形的面積是

1

25

，可探求sinθ與cosθ之間的等量關系，從而求tanθ的值；
（2）根據tanθ的值，進行分類討論，從而將不等式化為一元二次不等式，故可解．

解答：解：（1）如圖，由已知設∠ABF=θ，易得：
AB=1，EF=

1

5

，且AF=sinθ，BF=cosθ⇒|sinθ-cosθ|=

1

5

--------------------（3分）⇒sin2θ=

24

25

=

2tanθ

1+tan2θ

⇒12tan2θ-25tanθ+12=0，⇒tanθ=

4

3

或tanθ=

3

4

，
所以較大銳角正切值為

4

3

，且較小銳角的正切值為

3

4

--------------------------（3分）
（2）①當tanθ=

4

3

時，logtanθ(x2-1)≥0⇒x2-1≥1  ⇒x≤-

2

或x≥

2

②當tanθ=

3

4

時，logtanθ(x2-1)≥0⇒

x2-1＞0 x2-1≤1

  ⇒-

2

≤x＜-1或1＜x≤

2

---（6分）

點評：本題以實際問題為載體，考查三角函數，考查解不等式，關鍵是將實際問題轉化為數學問題．