Question

已知直線l：y=kx+b是橢圓C：

x2

4

+y2=1的一條切線，F₁，F₂為左右焦點．
（1）過F₁，F₂作l的垂線，垂足分別為M，N，求|F₁M|•|F₂M|的值；
（2）若直線l與x軸、y軸分別交于A，B兩點，求|AB|的最小值，并求此時直線l的斜率．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），聯立直線方程與橢圓方程，由△=0可求得b²=4k²+1，利用點到直線間的距離公式可求得|F₁M|•|F₂M|的值；
（2）由題意可求得A（-

b

k

，0），B（0，b），利用兩點間的距離公式可求得|AB|的關于k的表達式，利用基本不等式即可求得|AB|最小時直線l的斜率．

解答：解：（1）聯立方程

y=kx+b x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²+kbx+4b²-4=0，----------（2分）
依題意，△=0得b²=4k²+1，----------------------------（4分）
∵F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0）
|F₁M|•|F₂M|=

| 3 k+b|

k2+1

•

|- 3 k+b|

k2+1

=

|b2-3k2|

k2+1

=

|4k2+1-3k2|

k2+1

=1-------------（6分）
（2）∵A（-

b

k

，0），B（0，b），
∴|AB|=

b2 k2 +b2

=

1 k2 +4k2+5

≥3----（9分）

當且僅當

1

k2

=4k²，即k=±

2

2

時取等號，
∴|AB|的最小值為3，此時直線l的斜率為±

2

2

．--------（12分）

點評：本題考查橢圓的簡單性質，考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查點到直線間的距離公式與兩點間的距離公式，考查基本不等式，考查轉化與方程思想，屬于中檔題．