Question

已知正項數列的前項和為，是與的等比中項.
（Ⅰ）若，且，求數列的通項公式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若，求數列的前項和.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）．

試題分析：（Ⅰ）已知正項數列的前項和為，是與的等比中項，若，且，求數列的通項公式，此題關鍵是求，要求利用是與的等比中項，得，當時，，求得，從而得，再由，得，這樣得數列是以2為公比的等比數列，從而得數列的通項公式；（Ⅱ）若，求數列的前項和，首先求數列的通項公式，由，只需求出數列的通項公式，由前面可知，可利用來求，求得，得，這是一個等比數列與一個等差數列對應項積所組成的數列，求它的和可用錯為相減法來求．
試題解析：（Ⅰ），即 ，當時，，∴，當時，，∴，即 ，
∵  ∴ ,∴數列是等差數列，由得，∴數列是以2為公比的等比數列，∴ ，∴
（Ⅱ） ，   ∴  ①，
兩邊同乘以得 ②，
①-②得
 ．