Question

（1）如圖，∠PAQ是直角，圓O與AP相切于點T，與AQ相交于兩點B，C．求證：BT平分∠OBA
（2）若點A（2，2）在矩陣M=

.

cosα -sinα sinα cosα

.

對應變換的作用下得到的點為B（-2，2），求矩陣M的逆矩陣；
（3）在極坐標系中，A為曲線ρ²+2ρcosθ-3=0上的動點，B為直線ρcosθ+ρsinθ-7=0上的動點，求AB的最小值；
（4）已知a₁，a₂…a_n都是正數，且a₁•a₂…a_n=1，求證：(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n．

Answer 1

分析：（1）證明BT平分∠OBA，即證明∠OBT=∠TBA，利用∠TBA=∠BTO，∠OTB=∠OBT，可得結論；
（2）根據點A（2，2）在矩陣M=

cosα -sinα sinα cosα

對應變換的作用下得到的點為B（-2，2），建立方程，求得M，再利用M-1=

0 1 -1 0

，可得矩陣M的逆矩陣，或利用矩陣M的行列式，求得矩陣M的逆矩陣；
（3）將圓、直線的極坐標方程化為直角坐標方程方程，求出圓心到直線的距離d=

|-1-7|

2

=4

2

，即可求AB的最小值；
（4）因為a₁是正數，所以2a₁=1+1+a₁≥3

3	a

，同理，2a_j≥1+1+a_j≥3

3	aj

，將上述不等式兩邊相乘，利用a₁•a₂•…•a_n=1，即可證得結論．

解答：（1）證明：連接OT，因為AT是切線，所以OT⊥AP．
因為∠PAQ是直角，即AQ⊥AP，所以AB∥OT，所以∠TBA=∠BTO．（5分）
因為OT=OB，所以∠OTB=∠OBT，
所以∠OBT=∠TBA，
即BT平分∠OBA．（10分）
（2）解：由題意知，M

2 2

=

-2 2

，即

2cosα-2sinα 2sinα+2cosα

=

-2 2

，
所以

cosα-sinα=-1 sinα+cosα=1

，解得

cosα=0 sinα=1

所以M=

0 -1 1 0

．（5分）
由M-1M=

1 0 0 1

，解得M-1=

0 1 -1 0

．（10分）
另解：矩陣M的行列式|M|=

.

0 1 -1 0

.

=1≠0，所以M-1=

0 1 -1 0

．
（3）解：圓方程為（x+1）²+y²=4，圓心（-1，0），直線方程為x+y-7=0，（5分）
圓心到直線的距離d=

|-1-7|

2

=4

2

，所以（AB）_min=4

2

-2．  （10分）
（4）證明：因為a₁是正數，所以2a₁=1+1+a₁≥3

3	a

，（5分）
同理，2a_j≥1+1+a_j≥3

3	aj

，
將上述不等式兩邊相乘，得(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n•

3	a1•a2•…•an

，
因為a₁•a₂•…•a_n=1，所以(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n．（10分）

點評：本題考查幾何證明選講，考查矩陣與變換，考查極坐標方程，考查不等式的證明，涉及知識點多，綜合性強．