Question

在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H分別是棱AB，CC₁，D₁A₁，BB₁的中點．
（1）證明：FH∥平面A₁EG；
（2）證明：AH⊥EG；
（3）求三棱錐A₁-EFG的體積．

Answer 1

分析：（1）根據正方體的幾何特征，我們易證明FH∥A₁G，結合線面平行的判定定理，即可得到FH∥平面A₁EG；
（2）根據正方體的幾何特征，易得AH⊥A₁G，AH⊥A₁E，結合線面垂直的判定定理，即可得到AH⊥平面A₁EG，再由線面垂直的性質，即可得到AH⊥EG；
（3）連接HA₁，HE，HG，結合（1）的結論可得VH-A1EG=VF-A1EG，求出棱錐的底面面積和高后，代入棱錐體積公式即可得到答案．

解答：解：（1）證明：∵FH∥B₁C₁，B₁C₁∥A₁G，∴FH∥A₁G
又A₁G?平面A₁GE，FH?平面A₁GE，∴FH∥平面A₁EG
（2）∵A₁G⊥平面ABB₁A₁，AH?平面ABB₁A₁，∴AH⊥A₁G
又∵△ABH≌△A₁AE，∴∠HAB=∠EA₁A∵∠A₁AH+∠HAB=90°，∴∠A₁AH+∠EA₁A=90°，∴AH⊥A₁E
又∵A₁G∩A₁E=A₁，∴AH⊥平面A₁EG，∵EG?平面A₁EG，故AH⊥EG
（3）連接HA₁，HE，HG，由（1）得FH∥平面A₁EG，∴VH-A1EG=VF-A1EG
又S△A1EH=SABB1A1-S△A1AE-S△A1B1H-S△EBH=1×1-

1

4

-

1

4

-

1

8

=

3

8

，A1G=

1

2

∴VA1-EFG=VF-A1EG=VH-A1EG=VG-A1EH=

1

3

S△A1EH•A1G=

1

3

×

3

8

×

1

2

=

1

16

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定及性質，棱錐的體積，熟練掌握空間直線與平面平行或垂直關系的判定、性質、定義，是解答本題的關鍵．