Question

已知函數y=x³-8x+2，
（1）求函數在區間[2，3]上的值域；
（2）過原點作曲線的切線l：y=kx，求切線方程．

Answer 1

分析：（1）求導函數可得函數在區間[2，3]上單調增，從而可求函數在區間[2，3]上的值域；
（2）設切點坐標為（a，b），可得切線方程為y-b=（3a²-8）（x-a），利用切線過原點，切點在曲線上，即可求得結論．

解答：解：（1）求導函數可得y′=3x²-8
∵x∈[2，3]，∴y′=3x²-8＞0
∴函數在區間[2，3]上單調增
∵x=2時，y=-6；x=3時，y=5
∴函數在區間[2，3]上的值域為[-6，5]；
（2）設切點坐標為（a，b），則 x=a時，y′=3a²-8
∴切線方程為y-b=（3a²-8）（x-a）
∵切線過原點，∴-b=-a（3a²-8）
又b=a³-8a+2，∴a（3a²-8）=a³-8a+2，∴a³=1
∴a=1，∴b=-5
∴切線方程為y=-5x．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查導數的幾何意義，設切點求切線斜率是關鍵．