Question

本小題滿分12分）

如圖，在棱長為a的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為棱AB和BC的中點，EF交BD于H。

   （1）求二面角B₁—EF—B的正切值；

   （2）試在棱B₁B上找一點M，使D₁M⊥平面EFB₁，并證明你的結論.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）連AC、B₁H，則EF//AC，

∵AC⊥BD，所以BD⊥EF。

∵B₁B⊥平面ABCD，所以B₁H⊥EF，

∴∠B₁HB為二面角B₁—EF—B的平面角。                …………2分

在

故二面角B₁—EF—B的正切值為       …………4分

   （2）在棱B₁B上取中點M，連D₁M、C₁M。

∵EF⊥平面B₁BDD₁，

所以EF⊥D₁M。                                         …………6分

在正方形BB₁C₁C中，因為M、F分別為BB₁、BC的中點，

∴B₁F⊥C₁M  又因為D₁C₁⊥平面BCC₁B₁，所以B₁F⊥D₁C₁，

所以B₁F⊥D₁M，

∴D₁M⊥平面EFB₁                                      …………8分

   （3）設D₁M與平面EFB₁交于點N，則D₁N為點D₁到平面EFB₁的距離。

在Rt△MB₁D₁中，                       …………10分

故點D₁到平面EFB₁的距離為                           …………12分

解二：（1）在正方體中，以DA、DC、DD₁分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系

則

    ………………2分

設平面EFB₁的一個法向量為

故二面角B₁—EF—B的正切值為                …………6分

   （2）設

                        …………12分

 

【解析】略