如圖，已知點D（0，－2），過點D作拋物線
：
的切線l,切點A在第二象限。
（1）求切點A的縱坐標；
（2）若離心率為
的橢圓
恰好經過A點，設切線l交橢圓的另一點為B，若設切線l,直線OA，OB的斜率為k,
,①試用斜率k表示
②當取得最大值時求此時橢圓的方程。
（1）2，（2）①
，②
解析試題分析：（1）設切點A
，則
，再利用導數的幾何意義得在切點A的導數值為切線的斜率，即
，而
，所以
（2）①要求函數關系式，一要確定自變量k的取值范圍，這可由切線l斜率
及
得到
.二是建立與k的等量關系，這是一個復雜消參的過程.先設
，則
.在使用韋達定理之前先要做一個工作，就是將橢圓方程用k表示.因為
，代入橢圓方程得
，而
，所以
，
，因此橢圓方程為
，到此再利用韋達定理可解得，② 利用函數為單調增函數，得當k= 1時，取到最大值，此時P＝4，故橢圓的方程為.
試題解析：解：（1）設切點A，依題意則有
解得
，即A點的縱坐標為2 3分
（2）依題意可設橢圓的方程為，直線AB方程為：
；由
得
①
由（1）可得A
，將A代入①可得，
故橢圓的方程可簡化為
； 5分
聯立直線AB與橢圓的方程：
消去Y得：
，則
8分
又∵
,∴k∈［－2，－1］；即……9分
②由可知
上為單調遞增函數，故當k= 1時，取到最大值，此時P＝4，故橢圓的方程為…12分
考點：利用導數求切線斜率，直線與橢圓位置關系
學業測評一課一測系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，等邊三角形OAB的邊長為8
，且其三個頂點均在拋物線E：x2＝2py(p>0)上．
(1)求拋物線E的方程；
(2)設動直線l與拋物線E相切于點P，與直線y＝－1相交于點Q.證明：以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C：
＝1(a>b>0)經過點M(－2，－1)，離心率為
.過點M作傾斜角互補的兩條直線分別與橢圓C交于異于M的另外兩點P、Q.
(1)求橢圓C的方程；
(2)試判斷直線PQ的斜率是否為定值，證明你的結論．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心在坐標原點O，右焦點為F.若C的右準線l的方程為x＝4，離心率e＝
.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)設點P為準線l上一動點，且在x軸上方．圓M經過O、F、P三點，求當圓心M到x軸的距離最小時圓M的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖,已知拋物線C1:x2+by=b2經過橢圓C2:
+
=1(a>b>0)的兩個焦點.
(1)求橢圓C2的離心率;
(2)設點Q(3,b),又M,N為C1與C2不在y軸上的兩個交點,若△QMN的重心在拋物線C1上,求C1和C2的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C1的中心在坐標原點,兩個焦點分別為F1(-2,0),F2(2,0),點A(2,3)在橢圓C1上,過點A的直線L與拋物線C2:x2=4y交于B,C兩點,拋物線C2在點B,C處的切線分別為l1,l2,且l1與l2交于點P.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)是否存在滿足|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|的點P?若存在,指出這樣的點P有幾個(不必求出點P的坐標);若不存在,說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設橢圓
+
=1(a>b>0)的左焦點為F,離心率為
,過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)設A,B分別為橢圓的左、右頂點,過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點.若
·
+
·
=8,求k的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
橢圓C：
＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別是F1、F2，離心率為
，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1.
(1)求橢圓C的方程；
(2)點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，過點P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點．設直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2.若k≠0，試證明
＋
為定值，并求出這個定值．
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的離心率是
，它被直線
截得的弦長是
，求橢圓的方程．