Question

（1）18世紀的時候，歐拉通過研究，發現凸多面體的面數F、頂點數V和棱數E滿足一個等式關系．請你研究你熟悉的一些幾何體（如三棱錐、三棱柱、正方體…），歸納出F、V、E之間的關系等式：

V+F-E=2

；
（2）運用你得出的關系式研究如下問題：一個凸多面體的各個面都是三角形，則它的面數F可以表示為頂點數V的函數，此函數關系式為

F=2V-4

．

多面體	面數（F）	頂點數（V）	棱數（E）
三棱錐	4	4	6
三棱柱	5	6	…
正方體	…	…	…
…	…	…	…

Answer 1

分析：（1）通過列舉正方體、三棱柱、三棱錐的面數F、頂點數V和棱數E，得到規律：V+F-E=2，進而發現此公式對任意凸多面體都成立，由此得到本題的答案．
（2）根據各個面都是三角形的多面體的構造特點及歐拉公式V+F-E=2可得函數關系式．

解答：解：（1）凸多面體的面數為F、頂點數為V和棱數為E，舉例如下
①正方體：F=6，V=8，E=12，得V+F-E=8+6-12=2；
②三棱柱：F=5，V=6，E=9，得V+F-E=5+6-9=2；
③三棱錐：F=4，V=4，E=6，得V+F-E=4+4-6=2．
根據以上幾個例子，猜想：凸多面體的面數F、頂點數V和棱數E滿足如下關系：V+F-E=2
再通過舉四棱錐、六棱柱、…等等，發現上述公式都成立．
因此歸納出一般結論：V+F-E=2
（2）一個多面體的各個面都是三角形，這個多面體的棱數E=

3

2

F，
∵V+F-E=2，
∴V+F-

3

2

F=2，
∴F=2V-4．
故答案為：V+F-E=2；F=2V-4．

點評：本題由幾個特殊多面體，觀察它們的頂點數、面數和棱數，歸納出一般結論，得到歐拉公式，著重考查了歸納推理和凸多面體的性質等知識，屬于基礎題．