Question

如圖，已知常數(shù)a＞0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O為AB的中點，點E、F、G分別在BC、CD、DA上移動，且

BE

BC

=

CF

CD

=

DG

DA

，P為GE與OF的交點，建立如圖坐標(biāo)系，求P點的軌跡方程．

Answer 1

分析：根據(jù)如圖坐標(biāo)系，按題意寫出A，B，C，D四點的坐標(biāo)，進而根據(jù)

BE

BC

=

CF

CD

=

DG

DA

解出E，F(xiàn)，G三點的坐標(biāo) 參數(shù)表示，求出OF與GE兩條直線的方程，兩者聯(lián)立即可求出點P的坐標(biāo)滿足的參數(shù)方程，消去參數(shù)，得到點P的軌跡方程．

解答：解：如圖，按題意有A（-2，0），B（2，0），C（2，4a），D（-2，4a）．
設(shè)

BE

BC

=

CF

CD

=

DG

DA

=k(0≤k≤1)．
由此有E（2，4ak），F(xiàn)（2-4k，4a），G（-2，4a-4ak）．
直線OF的方程為：2ax+（2k-1）y=0，①
直線GE的方程為：-a（2k-1）x+y-2a=0②
從①，②消去參數(shù)k，
得點P（x，y）坐標(biāo)滿足方程2a²x²+y²-2ay=0，（矩形內(nèi)部）．

點評：考查解析法求點的軌跡方程，本題在做題時引入了參數(shù)k，故得到的軌跡方程為參數(shù)方程，需要消去參數(shù)得到軌跡方程，又當(dāng)字母的取值范圍對曲線的形狀有影響時，要對其范圍進行討論以確定軌跡的具體性狀．