Question

【題目】已知橢圓的右焦點，，，是橢圓上任意三點，，關于原點對稱且滿足.

（1）求橢圓的方程.

（2）若斜率為的直線與圓：相切，與橢圓相交于不同的兩點、，求時，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）由題意設出，，的坐標，代入橢圓方程作差可得a與b的關系，結合右焦點坐標解得a，b即可.

（2）設出直線方程，與橢圓方程聯立，利用弦長公式及根與系數的關系將用k與m表示，再利用直線與圓相切得到k，m的關系，代入表達式，得到關于k的不等式，解得k的范圍即可．

（1）由題可設，，，

所以兩式相減得，

.即，

所以，又，，所以，，

所以橢圓的標準方程為.

（2）設直線方程為，交橢圓于點，.

聯立方程

，得，

，.

所以

=，

因為直線與圓相切，所以，

即，代入，得.

所以

因為，所以，

化簡得，或（舍）.

所以或，

故k的取值范圍為.