Question

 (本小題滿分12分)  如圖所示，已知圓為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且滿足的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為k的動(dòng)直線交曲線于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)G，滿足使四邊

形為矩形？若存在，求出G的坐標(biāo)和四邊形面積的最大值；若不存

在，說(shuō)明理由。

Answer 1

解：Ⅰ）

∴NP為AM的垂直平分線，∴|NA|=|NM|.…………………………2分

又

∴動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C（－1，0），A（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓.

且橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為焦距2c=2.   ……………4分

∴曲線E的方程為………………5分

   （2）動(dòng)直線的方程為：

由得

設(shè)

則       …………6分

假設(shè)在y上存在定點(diǎn)G（0，m），滿足題設(shè)，則

由假設(shè)得對(duì)于任意的恒成立，

即解得m=1。

因此，在y軸上存在定點(diǎn)G，使得以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)，

點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，1）              …………9分

這時(shí)，點(diǎn)G到AB的距離

設(shè)則

得

所以

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立。

因此，面積的最大值是              …………12分