Question

設F是拋物線G：x²=4y的焦點．
（I）過點P（0，-4）作拋物線G的切線，求切線方程；
（II）設A，B為拋物線G上異于原點的兩點，且滿足，延長AF，BF分別交拋物線G于點C，D，求四邊形ABCD面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）設出切點Q的坐標，對拋物線方程求導求得拋物線在Q點的切線斜率，表示出切線的方程把P點坐標代入求得x，則切線的方程可得．
（II）設出A，C的坐標和直線AC的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁+x₂，利用弦長公式表示出AC的長，根據(jù)AC⊥BD，表示出BD的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用弦長公式表示出BD的長，進而可表示出ABCD的面積，利用基本不等式求得其最小值．
解答：解：（I）設切點
由，知拋物線在Q點處的切線斜率為，
故所求切線方程為
即
因為點P（0，-4）在切線上
所以，x²=16，x=±4
所求切線方程為y=±2x-4
（II）設A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
由題意知，直線AC的斜率k存在，由對稱性，不妨設k＞0
因直線AC過焦點F（0，1），所以直線AC的方程為y=kx+1
點A，C的坐標滿足方程組
得x²-4kx-4=0，
由根與系數(shù)的關系知

因為AC⊥BD，所以BD的斜率為，從而BD的方程為
同理可求得

當k=1時，等號成立．
所以，四邊形ABCD面積的最小值為32．
點評：本小題主要考查拋物線的方程與性質，拋物線的切點與焦點，向量的數(shù)量積，直線與拋物線的位置關系，平均不等式等基礎知識，考查綜合分析問題、解決問題的能力．