Question

【題目】已知函數.

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）證明：.

Answer 1

【答案】（1）所求切線方程為；（2）

【解析】

試題（1）先求出導函數，根據對數的幾何意義可得切線斜率，利用點斜式可得切線方程；（2）要證，只需證，利用導數研究兩函數的單調性，從而求出兩函數的最值即可證明，進而可得結論.

試題解析：（1）因為，

所以，

因為，所以曲線在點處的切線方程為.

（2）證明：要證，只需證，

設，

則，

令得，令得，所以，

因為，所以，

又，所以，

從而，即.

【方法點晴】本題主要考查利用導數求曲線切線、利用導數研究函數的單調性進而求最值以及利用導數證明不等式，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導數，即在點出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在 處導數不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.