Question

某學院為了調查本校學生2011年9月“健康上網”（健康上網是指每天上網不超過兩小時）的天數情況，隨機抽取了40名本校學生作為樣本，統計他們在該月30天內健康上網的天數，并將所得數據分成以下六組：[O，5]，（5，1O]，…，（25，30]，由此畫出樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．
（I）根據頻率分布直方圖，求這40名學生中健康上網天數超過20天的人數；
（Ⅱ）現從這40名學生中任取2名，設Y為取出的2名學生中健康上網天數超過20天的人數，求Y的分布列及其數學期望E（Y）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）結合圖形知，健康上網天數未超過20天的頻率為（0.01+0.02+0.03+0.09）×5=0.75，由此能求出健康上網天數超過20天的學生人數．
（Ⅱ）隨機變量Y的所有可能取值為0，1，2．分別求出P（Y=0），P（Y=1），P（Y=2），能夠得到Y的分布列和E（Y）．

解答：解：（Ⅰ）由圖可知，健康上網天數未超過20天的頻率為（0.01+0.02+0.03+0.09）×5=0.15×5=0.75，（2分）
∴健康上網天數超過20天的學生人數是40×（1-0.75）=40×0.25=10．（4分）
（Ⅱ）隨機變量Y的所有可能取值為0，1，2．（5分）
P（Y=0）=

C 2 30

C 2 40

=

29

52

，（6分）
P（Y=1）=

C 1 10 C 1 30

C 2 40

=

5

13

，（7分）
P（Y=2）=

C 2 10

C 2 40

=

3

52

．（8分）
所以Y的分布列為

Y	0	1	2
P	29 52	5 13	3 52

（11分）
∴E（Y）=0×

29

52

+1×

5

13

+2×

3

52

=

1

2

．（13分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期的求法，解題時要認真審題，注意數形結合思想的靈活運用，合理地運用概率知識進行求解．