Question

（2012•虹口區二模）已知：函數g（x）=ax²-2ax+1+b（a≠0，b＜1），在區間[2，3]上有最大值4，最小值1，設函數f（x）=

g(x)

x

．
（1）求a、b的值及函數f（x）的解析式；
（2）若不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]時恒成立，求實數k的取值范圍；
（3）如果關于x的方程f（|2^x-1|）+t•（

4

|2x-1|

-3）=0有三個相異的實數根，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數g（x）=ax²-2ax+1+b（a≠0，b＜1），可知函數在區間[2，3]上是單調函數，故可建立方程組，從而可求a、b的值及函數f（x）的解析式；
（2）利用分離參數法，求出函數的最值，即可得到結論；
（3）根據f（|2^x-1|）+t•（

4

|2x-1|

-3）=0，可得|2^x-1|+

1

|2x-1|

+

4t

|2x-1|

-3t-2=0，利用換元法u=|2^x-1|＞0，轉化為u²-（3t+2）u+（4t+1）=0，當0＜u₁＜1＜u₂時，原方程有三個相異實根，故可求實數t的取值范圍．

解答：解：（1）g（x）=ax²-2ax+1+b，函數的對稱軸為直線x=1，由題意得：
①

a＞0 g(2)=1+b=1 g(3)=3a+b+1=4

得

a=1 b=0

②

a＜0 g(2)=1+b=4 g(3)=3a+b+1=1

得

a=-1 b=3＞1

（舍去）
∴a=1，b=0…（4分）
∴g（x）=x²-2x+1，f(x)=x+

1

x

-2…（5分）
（2）不等式f（2^x）-k•2^x≥0，即k≤(

1

2x

)2-2•(

1

2x

)+1…（9分）
設t=

1

2x

，∴t∈[

1

2

，2]，∴k≤（t-1）²
∵（t-1）²_min=0，∴k≤0…（11分）
（3）f（|2^x-1|）+t•（

4

|2x-1|

-3）=0，即|2^x-1|+

1

|2x-1|

+

4t

|2x-1|

-3t-2=0．
令u=|2^x-1|＞0，則 u²-（3t+2）u+（4t+1）=0…（①…（13分）
記方程①的根為u₁，u₂，當0＜u₁＜1＜u₂時，原方程有三個相異實根，
記φ（u）=u²-（3t+2）u+（4t+1），由題可知，

φ(0)=4t+1＞0 φ(1)=t＜0

或

φ(0)=4t+1＞0 φ(1)=t=0 0＜ 3t+2 2 ＜1

．…（16分）
∴-

1

4

＜t＜0時滿足題設．…（18分）

點評：本題考查函數的單調性，考查函數的最值，考查分離參數法求解恒成立問題，考查函數與方程思想，屬于中檔題．